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Hola a todos, éste es mi primer mensaje en los foros de esta web. Aunque mi finalidad es resolver una duda sobre hidráulica teórica, espero que pueda interesar a alguien más. Paso a exponer la duda:

Empezando a estudiar Hidrostática de fluidos con el libro “El Riego. Fundamentos Hidráulicos”, de A. Losada, 4ª edición (2009), en el apartado III.2. EQUILIBRIO DINÁMICO. ECUACIONES DEL MOVIMIENTO DE CAUCHY, dicho libro explica (el texto del libro lo pongo en negrita y cursiva):



Considérese una masa fluida continua en movimiento inmersa en un campo de fuerzas exteriores cuya acción por unidad de masa es


Dentro de ella, sea la partícula paralelepipédica elemental representada en la figura 3.1, cuyas caras se orientan según los planos coordenados.
NOTA: Convenio seguido en las expresiones de los esfuerzos:

Tij: el 1er subíndice (i) corresponde al eje perpendicular al plano sobre el que está aplicado el esfuerzo; el 2º subíndice (j) corresponde al eje cuya dirección coincide con la dirección del esfuerzo.

Además:



Sobre las caras de la partícula, actúan las fuerzas de enlace



Las dudas que deseo plantearos son dos, las siguientes:

1.- Entiendo que en la figura 3.1 faltarían esfuerzos: ¿por qué se omiten los esfuerzos siguientes?:
2.- ¿Por qué los esfuerzos derivados en el plano que corta al eje 1 más lejos del origen de los dos normales a dicho eje se multiplican por dV mientras que los esfuerzos derivados en los otros planos se multiplican por dx2 y por dx3?




Para intentar ayudar a entender el planteamiento de estas dudas, añado que el libro sigue así:




El equilibrio dinámico exige el cumplimiento de la ecuación
Al proyectar la ecuación anterior sobre el eje coordenado j, se obtiene:

NOTA: Convenio seguido para abreviar la forma de la expresión del primer sumando; se ha seguido el convenio de EINSTEIN: la presencia repetida del mismo índice i, j ó k señala que el monomio afectado equivale a la suma de otros tantos términos en los que dicho índice tomará cada valor posible. Así, dado que [i = 1, 2, 3], la expresión considerada equivale a:




Bueno, esto es todo. Espero no haber abusado de las imágenes y de los adjuntos. Agradecería mucho cualquier ayuda u orientación sobre el tema planteado. Saludos y gracias por leer.

Creo que he visto dónde estarían las incorrecciones: añado una imagen de cómo quedaría la figura, con todas las tensiones que faltan (que no esfuerzos) en naranja (corrección 3 en el texto que sigue a la imagen), y en naranja pero subrayadas en rojo las correcciones en la cara perpendicular al eje 1 más alejada del origen (correcciones 1 y 2 explicadas posteriormente en el texto que sigue a la imagen), cara en la que las notaciones quedan también como tensiones.



1.a. EN EL LIBRO (figura de mi primer post):
en la cara perpendicular al eje 1 más lejana al origen sólo hay derivadas parciales de tensiones respecto a la dirección 1, derivadas parciales que por tanto deben estar multiplicadas por dx1. Como además estas tensiones se multiplican por la superficie en la que están aplicadas (dx2 dx3), el resultado no son tensiones sino esfuerzos, quedando:
Igual con las otras dos notaciones en esta cara: Dado que en las otras 4 caras en las que hay vectores en la figura del libro, las correspondientes notaciones no están multiplicadas por la superficie en la que están aplicados, son tensiones y no esfuerzos. Entonces, para unificar todas las notaciones, cambio las de esta cara (la cara perpendicular al eje 1 más alejada del origen) de esfuerzos a tensiones (se podría haber hecho cambiando el resto de caras de tensiones a esfuerzos multiplicando cada tensión por la superficie sobre la que está aplicada; por ejemplo, si se trata de las caras perpendiculares al eje i, multiplicando por: ):

1.b. EN LA FIGURA MODIFICADA (figura en este post)
pongo las notaciones de la cara perpendicular al eje 1 más alejada del origen como tensiones, y no como esfuerzos. Para ello, las 3 tensiones deben estar multiplicadas sólo por dx1 y no por dx1 dx2 dx3 = dV. En la figura modificada, entonces, estas tensiones quedan multiplicadas por dx1.






2.a. EN EL LIBRO (figura de mi primer post):
Las tensiones de caras opuestas tienen un sumando común: el correspondiente a la notación de la cara más cercana al origen. En la cara más lejana al origen, la notación correspondiente es un sumando que coincide con la tensión de la cara más cercana al origen, al que le suma la derivada parcial de esa tensión según la dirección perpendicular a dichas caras. Esto no ocurre en las caras perpendiculares al eje 1, por lo tanto añado los sumandos que faltan a la cara perpendicular al eje 1 más lejana al origen:

2.b. EN LA FIGURA MODIFICADA (figura en este post)
lo que he hecho es añadir a las 3 notaciones de la cara perpendicular al eje 1 más lejana al origen, el respectivo sumando correspondiente de la cara perpendicular al eje 1 más cercana al origen ().






3.a. EN EL LIBRO (figura de mi primer post):
Faltan esfuerzos, mejor dicho tensiones, en todas las caras excepto en la perpendicular al eje 1 más lejana al origen (en la que sí están los vectores correspondientes a todos los esfuerzos).

3.b. EN LA FIGURA MODIFICADA (figura en este post)
añado todos los vectores tensión que faltan, con sus correspondientes notaciones.




Lo que no entiendo aún es la supuesta incorrección del libro en:
1.- poner tensiones en unas caras y esfuerzos en otra.
2.- no poner el sumando común en las notaciones de las caras perpendiculares al eje 1.
3.- no dibujar todas las tensiones actuantes.



Si alguien tiene algo que añadir, sobre todo que ayude a entender esas supuestas incorrecciones, o que interprete la figura original (del libro) de otra forma, será bienvenido y muy agradecido.





Para concluir, la ecuación de equilibrio dinámico que añadía al final de mi primer post (expresión incluída en dicho post como imagen 5.jpg); en concreto, su primer sumando:
Esta ecuación no tiene en cuenta todas las tensiones, sino sus gradientes o diferencias entre caras opuestas, que son los que causan una fuerza neta sobre la superficie total del volumen infinitesimal. Es decir, las derivadas parciales, que al estar multiplicadas por la diferencial correspondiente, si se multiplican también a su vez por la superficie diferencial sobre la que están aplicadas queda dx1 dx2 dx3 = dV.


Saludos.